Questão 3: (2.5 pontos) Sejam duas curvas C1 e C2 parametrizadas respectivamente por r1(t) = (2 cos t, 2 sin t, b), t ∈ [0, 2π] r2(s) = (s, s, s2)...

(a) Para que as curvas C1 e C2 tenham uma interseção, os pontos de suas parametrizações devem ser iguais. Portanto, igualando as coordenadas correspondentes, temos: 2 cos t = s 2 sin t = s b = s^2 Podemos observar que as duas primeiras equações implicam que s = 2 cos t = 2 sin t. Substituindo esse valor na terceira equação, temos: b = (2 cos t)^2 = 4 cos^2 t Portanto, o valor de b para que C1 e C2 possuam uma interseção é b = 4 cos^2 t. (b) Para encontrar o ângulo entre as curvas na interseção, podemos utilizar a fórmula do produto escalar entre os vetores tangentes às curvas. O vetor tangente a C1 é dado por r1'(t) = (-2 sin t, 2 cos t, 0) e o vetor tangente a C2 é dado por r2'(s) = (1, 1, 2s). No ponto de interseção, os vetores tangentes devem ser paralelos, o que implica que o produto escalar entre eles deve ser igual ao produto dos seus módulos. Portanto, temos: (-2 sin t, 2 cos t, 0) . (1, 1, 2s) = ||(-2 sin t, 2 cos t, 0)|| ||(1, 1, 2s)|| -2 sin t + 2 cos t + 0 = sqrt(4 sin^2 t + 4 cos^2 t + 0) sqrt(1 + 1 + 4s^2) Simplificando, temos: -2 sin t + 2 cos t = sqrt(8) sqrt(1 + 4s^2) -2 sin t + 2 cos t = 2 sqrt(1 + 4s^2) Dividindo por 2, temos: -sin t + cos t = sqrt(1 + 4s^2) Elevando ao quadrado, temos: sin^2 t - 2 sin t cos t + cos^2 t = 1 + 4s^2 Utilizando a identidade trigonométrica sin^2 t + cos^2 t = 1, temos: 1 - 2 sin t cos t = 1 + 4s^2 -2 sin t cos t = 4s^2 Dividindo por -2, temos: sin t cos t = -2s^2 Portanto, o ângulo entre as curvas na interseção é dado por sin t cos t = -2s^2.