Q3) Para estimar a média µ de uma população, foram propostos três estimadores não viesados, µ̂1, µ̂2 e µ̂3, obtidos
a partir de três amostras...

Question

Q3) Para estimar a média µ de uma população, foram propostos três estimadores não viesados, µ̂1, µ̂2 e µ̂3, obtidos
a partir de três amostras independentes, tal que V ar(µ̂1) = 2V ar(µ̂2) = 3V ar(µ̂3). Considere os seguintes
estimadores ponderados de µ:
T1 =
µ̂1 + 2µ̂2 + 3µ̂3
6
, T2 =
3µ̂1 + 2µ̂2 − µ̂3
4
e T3 =
µ̂1 + µ̂2
2
(a) Determine se os estimadores T1, T2 e T3 são ou não viesados.
(b) Qual estimador possui o menor erro quadrático médio (EQM)?

Ed · Answer

(a) Para determinar se os estimadores T1, T2 e T3 são viesados ou não, precisamos verificar se eles possuem viés igual a zero.

Vamos analisar cada estimador separadamente:

Estimador T1:
E(T1) = E(µ̂1 + 2µ̂2 + 3µ̂3) / 6
       = E(µ̂1) / 6 + 2E(µ̂2) / 6 + 3E(µ̂3) / 6
       = µ / 6 + 2µ / 6 + 3µ / 6
       = 6µ / 6
       = µ

Portanto, o estimador T1 é não viesado.

Estimador T2:
E(T2) = E(3µ̂1 + 2µ̂2 - µ̂3) / 4
       = 3E(µ̂1) / 4 + 2E(µ̂2) / 4 - E(µ̂3) / 4
       = 3µ / 4 + 2µ / 4 - µ / 4
       = 4µ / 4
       = µ

Portanto, o estimador T2 também é não viesado.

Estimador T3:
E(T3) = E(µ̂1 + µ̂2) / 2
       = E(µ̂1) / 2 + E(µ̂2) / 2
       = µ / 2 + µ / 2
       = µ

Portanto, o estimador T3 também é não viesado.

(b) Para determinar qual estimador possui o menor erro quadrático médio (EQM), precisamos calcular o EQM de cada estimador e compará-los.

O EQM de um estimador é dado pela soma do viés ao quadrado e da variância do estimador.

EQM(T1) = Var(T1)
         = Var(µ̂1 + 2µ̂2 + 3µ̂3) / 6
         = (1/6)^2 * Var(µ̂1) + (2/6)^2 * Var(µ̂2) + (3/6)^2 * Var(µ̂3)
         = (1/6)^2 * 2Var(µ̂2) + (2/6)^2 * 2Var(µ̂2) + (3/6)^2 * 3Var(µ̂2)
         = (1/36) * 2Var(µ̂2) + (4/36) * 2Var(µ̂2) + (9/36) * 3Var(µ̂2)
         = (2/36)Var(µ̂2) + (8/36)Var(µ̂2) + (27/36)Var(µ̂2)
         = (37/36)Var(µ̂2)

EQM(T2) = Var(T2)
         = Var(3µ̂1 + 2µ̂2 - µ̂3) / 4
         = (3/4)^2 * Var(µ̂1) + (2/4)^2 * Var(µ̂2) + (-1/4)^2 * Var(µ̂3)
         = (9/16) * Var(µ̂1) + (4/16) * Var(µ̂2) + (1/16) * Var(µ̂3)
         = (9/16) * Var(µ̂1) + (4/16) * Var(µ̂2) + (1/16) * 3Var(µ̂2)
         = (9/16)Var(µ̂1) + (4/16)Var(µ̂2) + (3/16)Var(µ̂2)
         = (9/16)Var(µ̂1) + (7/16)Var(µ̂2)

EQM(T3) = Var(T3)
         = Var(µ̂1 + µ̂2) / 2
         = (1/2)^2 * Var(µ̂1) + (1/2)^2 * Var(µ̂2)
         = (1/4) * Var(µ̂1) + (1/4) * Var(µ̂2)
         = (1/4)Var(µ̂1) + (1/4)Var(µ̂2)

Comparando os EQMs, podemos ver que:

EQM(T1) = (37/36)Var(µ̂2)
EQM(T2) = (9/16)Var(µ̂1) + (7/16)Var(µ̂2)
EQM(T3) = (1/4)Var(µ̂1) + (1/4)Var(µ̂2)

Portanto, o estimador T1 possui o menor EQM, já que não depende das variâncias dos estimadores µ̂1, µ̂2 e µ̂3.

Q3) Para estimar a média µ de uma população, foram propostos três estimadores não viesados, µ̂1, µ̂2 e µ̂3, obtidos a partir de três amostras...

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