No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração po...

Para calcular a integral ∫x² ex dx, podemos utilizar o método da integração por partes. A fórmula da integração por partes é dada por: ∫u dv = uv - ∫v du Nesse caso, podemos escolher u = x² e dv = ex dx. Calculando as derivadas, temos du = 2x dx e v = ∫ex dx = ex. Aplicando a fórmula da integração por partes, temos: ∫x² ex dx = x² ex - ∫2x ex dx Agora, vamos calcular a integral ∫2x ex dx. Novamente, podemos utilizar a integração por partes, escolhendo u = 2x e dv = ex dx. Calculando as derivadas, temos du = 2 dx e v = ∫ex dx = ex. Aplicando a fórmula da integração por partes, temos: ∫2x ex dx = 2x ex - ∫2 ex dx A integral ∫2 ex dx é simplesmente 2 ex. Substituindo esse resultado na expressão anterior, temos: ∫x² ex dx = x² ex - 2x ex + 2 ex + C Simplificando, temos: ∫x² ex dx = x² ex - 2x ex + 2 ex + C Portanto, a alternativa correta é a letra D) ex(x²-2x+2) + C.