DESAFIO IV: T RANSFORMAÇÕES Trabal har com as transfor mações lineares escri tas em fór mula s é , muitas ve zes mu ito comp li cado....

Vamos lá! Vou responder às suas perguntas sobre o desafio das transformações lineares: 1) Para encontrar a matriz "M" da transformação linear, basta escrever os coeficientes das variáveis em cada posição da matriz. No caso da transformação dada, temos: M = | 2 3 | | 3 2 | 2) Para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear, precisamos resolver a equação característica. A equação característica é dada por |M - λI| = 0, onde λ é o autovalor e I é a matriz identidade. No caso da matriz M, temos: | 2-λ 3 | | 3 2-λ | Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores λ1 = 5 e λ2 = -1. Para encontrar os autovetores correspondentes, substituímos cada autovalor na equação (M - λI)v = 0, onde v é o autovetor. Para λ1 = 5, temos: | -3 3 | | 3 -3 | Resolvendo essa equação, encontramos o autovetor v1 = (1, 1). Para λ2 = -1, temos: | 3 3 | | 3 3 | Resolvendo essa equação, encontramos o autovetor v2 = (1, -1). 3) Para calcular M^10, podemos usar a diagonalização da matriz M. Se M é diagonalizável, podemos escrever M = PDP^(-1), onde D é uma matriz diagonal e P é uma matriz formada pelos autovetores de M. No caso da matriz M, temos: P = | 1 1 | | 1 -1 | D = | 5 0 | | 0 -1 | Calculando PDP^(-1), encontramos: M^10 = PD^10P^(-1) Substituindo os valores de D^10, temos: D^10 = | 5^10 0 | | 0 (-1)^10 | Simplificando, temos: D^10 = | 9765625 0 | | 0 1 | Substituindo na fórmula, temos: M^10 = PDP^(-1) = | 1 1 | * | 9765625 0 | * | 1 1 |^(-1) | 1 -1 | | 0 1 | Realizando as multiplicações, encontramos o valor de M^10. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.