13 Lista de Exercícios de GAAL - Composição de transformações lineares

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Pontif́ıcia Universidade Católica de Minas Gerais
13ª Lista de Exerćıcios de GAAL
Composição de Transformações Lineares
Questão 1. Seja T o operador linear sobre R3 dado por T (x, y, z) = (3x, x + y, 2x + y + z).
Verifique se T é invert́ıvel e, em caso afirmativo, determine T−1.
Questão 2. Sejam R : R3 → R3 e S : R3 → R3 as transformações lineares dadas por
R(x, y) = (2x, x+ y, y) e S(x, y, z) = (y − z, z + x).
Obtenha [RoS] e [SoR].
Questão 3. Sejam R : R2 → R2 e S : R3 → R2 as transformações lineares tais que
[T ] =
(
1 2
−1 3
)
. e [S] =
(
1 0 −1
2 1 1
)
.
Sabemos que RoS : R3 → R2. Obtenha RoS(x, y, z).
Questão 4. Se R(x, y) = (2x, x− y, y) e S(x, y, z) = (y − z, z − x).
a) Determine [RoS]
b) Determine [SoR]
c) Obtenha uma base a a dimensão para o núcleo de [RoS] e [SoR].
d) Obtenha uma base a a dimensão para o imagem de [RoS] e [SoR].
e) Verifique se [RoS] e [SoR] são isomorfismo. Em caso afirmativo obtenha a transformação
inversa em cada caso.
Questão 05. Sejam α = {(0, 2), (2,−1)} e β = {(1, 1, 0), (0, 0,−1), (1, 0, 1)} bases de R2 e R3
respectivamente. Considere a matriz
[T ]αβ =
 2 04 0
0 −4
 .
a) Dê a expressão para T (x, y)
b) Determine uma base e a dimensão para kerT e ImT