Questão 3: (2,5 pontos) Prove, por indução em n, que n3 − n é diviśıvel por 6 qualquer que seja o n maior ou igual a 6.

Para provar por indução que n³ - n é divisível por 6 para qualquer n maior ou igual a 6, devemos seguir os passos da prova por indução. Passo 1: Base da indução Verifique se a afirmação é verdadeira para o valor mínimo de n. Neste caso, n = 6. Vamos substituir n por 6 na expressão n³ - n: 6³ - 6 = 216 - 6 = 210 210 é divisível por 6, portanto, a afirmação é verdadeira para n = 6. Passo 2: Hipótese de indução Assumimos que a afirmação é verdadeira para um valor genérico k, ou seja, k³ - k é divisível por 6. Passo 3: Passo de indução Vamos provar que a afirmação também é verdadeira para k + 1. Substituindo n por k + 1 na expressão n³ - n, temos: (k + 1)³ - (k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 - k - 1 = k³ - k + 3k² + 3k = (k³ - k) + 3k(k + 1) Pela hipótese de indução, sabemos que k³ - k é divisível por 6. Além disso, podemos observar que 3k(k + 1) é divisível por 6, pois um dos fatores é sempre divisível por 2 e o outro é sempre divisível por 3. Portanto, (k + 1)³ - (k + 1) é divisível por 6. Conclusão: Com base no princípio da indução matemática, podemos concluir que n³ - n é divisível por 6 para qualquer n maior ou igual a 6.