Dado um número real  e um número irracional , podemos construir, com base nas potências de expoente racional, um único número real positivo , que é...

Dado um número real  e um número irracional , podemos construir, com base nas potências de expoente racional, um único número real positivo , que é a potência de base  e expoente irracional . Seja, por exemplo, a potência . Sabendo quais são os valores racionais aproximados por falta ou por excesso de , obtemos em correspondência os valores aproximados por falta ou por excesso de . Assim, seja ,  e  um número irracional, consideremos os conjuntos  e . Notemos que: (a) todo número de  é menor que qualquer número de , e (b) existem dois racionais  e , tais que , e a diferença  é menor que qualquer número positivo e arbitrário. 

Em correspondência aos conjuntos  e , consideremos os conjuntos  e . Se , demonstra-se que: (a) todo número de  é menor que qualquer número de , e (b) existem dois números  e , que são aproximações por falta e por excesso, respectivamente, de  e que  e  são classes que definem .

IEZZI, G.; DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Fundamentos da Matemática Elementar. v. 2. 3 ed. São Paulo: Atual Editora, 1977.

Considerando o exemplo exposto, tem-se as potências de base  e expoente racional , explicitadas em forma de aproximações por falta e excesso, como se observa a seguir.