Para encontrar o vetor binormal à curva definida pela função \(\vec{F}(t) = \langle t, t^2, \frac{2}{3}t^3 \rangle\), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o vetor tangente \(\vec{T}(t)\): - O vetor tangente é dado pela derivada da função \(\vec{F}(t)\) em relação a \(t\): \[ \vec{F}'(t) = \left\langle 1, 2t, 2t^2 \right\rangle \] 2. Encontrar o vetor normal \(\vec{N}(t)\): - O vetor normal é obtido pela derivada do vetor tangente \(\vec{T}(t)\) e normalizando-o. Primeiro, precisamos calcular a derivada de \(\vec{T}(t)\): \[ \vec{T}'(t) = \left\langle 0, 2, 4t \right\rangle \] - Em seguida, normalizamos \(\vec{T}'(t)\) para obter \(\vec{N}(t)\). 3. Encontrar o vetor binormal \(\vec{B}(t)\): - O vetor binormal é dado pelo produto vetorial entre os vetores tangente e normal: \[ \vec{B}(t) = \vec{T}(t) \times \vec{N}(t) \] 4. Avaliar no ponto dado: - Precisamos encontrar o valor de \(t\) que corresponde ao ponto \((1, 1, 2/3)\). Para isso, igualamos: \[ t = 1 \quad \text{(para a primeira coordenada)} \] - Assim, substituímos \(t = 1\) nas expressões para \(\vec{T}(1)\) e \(\vec{N}(1)\) e, em seguida, calculamos \(\vec{B}(1)\). Como não foram fornecidas as alternativas, não posso indicar a resposta correta. Se você puder fornecer as opções, ficarei feliz em ajudá-lo a encontrar a correta!