Considere o seguinte problema de Programação Linear: Maximize: Z = 2x1 + 3x2 - 4x3 Sujeito a x1 + x2 + 3x3 ≤ 15 x1 + 2x2 - x3 ≤ 20 x1 ≥ 0 x2 ...

Para encontrar o valor máximo que o parâmetro k pode assumir sem alterar o valor ótimo da função objetivo encontrado para o problema original, podemos resolver o problema original e verificar o valor da função objetivo. No problema original, temos: Maximize: Z = 2x1 + 3x2 - 4x3 Sujeito a: x1 + x2 + 3x3 ≤ 15 x1 + 2x2 - x3 ≤ 20 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 Vamos resolver esse problema utilizando o método Simplex ou qualquer outro método de resolução de Programação Linear. Após resolver, encontramos o valor ótimo da função objetivo, que chamaremos de Z_original. Agora, vamos considerar o problema modificado, onde adicionamos a variável x4: Maximize: Z = 2x1 + 3x2 - 4x3 + k * x4 Sujeito a: x1 + x2 + 3x3 - x4 ≤ 15 x1 + 2x2 - x3 + 2x4 ≤ 20 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 Para que o valor ótimo da função objetivo não seja alterado, devemos encontrar o valor máximo de k que não afete a solução ótima do problema original. Isso significa que o valor de k deve ser tal que a variável x4 não participe da solução ótima. Analisando as restrições do problema modificado, podemos ver que a variável x4 só aparece na segunda restrição. Portanto, para que x4 não participe da solução ótima, a segunda restrição deve ser uma igualdade, ou seja: x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = 20 Nesse caso, podemos resolver o sistema de equações formado pelas restrições do problema original e a segunda restrição do problema modificado. Se o sistema tiver solução, significa que x4 não participa da solução ótima. Se o sistema não tiver solução, significa que x4 participa da solução ótima. Resolvendo o sistema, encontramos que x1 = 0, x2 = 10, x3 = 0 e x4 = 0. Portanto, x4 não participa da solução ótima. Concluímos que o valor máximo que o parâmetro k pode assumir sem alterar o valor ótimo da função objetivo encontrado para o problema original é 0 (alternativa d).