A região R, delimitada pelas curvas y = x e y = x², é girada ao redor do eixo x. Determine o volume do sólido resultante: A Aproximadamente 0,42...

Para determinar o volume do sólido resultante, podemos utilizar o método do disco ou o método do cilindro. Neste caso, vamos utilizar o método do disco. A região R é girada ao redor do eixo x, formando um sólido de revolução. Para calcular o volume desse sólido, vamos integrar a área de cada disco infinitesimal ao longo do eixo x. A área de cada disco é dada por A = π * (raio)², onde o raio é a distância entre o ponto da curva y = x e o eixo x. Para encontrar o raio, podemos considerar a diferença entre as duas curvas: y = x - y = x². Assim, temos: x - x² = 0 x(1 - x) = 0 x = 0 ou x = 1 Portanto, o raio varia de 0 a 1. Agora, podemos calcular o volume integrando a área de cada disco ao longo do eixo x: V = ∫[0,1] π * (x² - x)² dx Resolvendo essa integral, encontramos: V = π * ∫[0,1] (x^4 - 2x³ + x²) dx V = π * [x^5/5 - x^4/2 + x³/3] |[0,1] V = π * [(1/5) - (1/2) + (1/3)] V = π * [(3/15) - (7/15) + (5/15)] V = π * (1/15) Portanto, o volume do sólido resultante é aproximadamente 0,21 unidades cúbicas. Dessa forma, nenhuma das alternativas fornecidas corresponde ao valor correto.