Determine o intervalo de convergência da série: s(x) = sum n = 1 to ∞ (x ^ n)/n

Para determinar o intervalo de convergência da série \( s(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \), podemos usar o teste da razão ou o teste da raiz. Aqui, vamos usar o teste da razão. 1. Aplicando o teste da razão: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \] onde \( a_n = \frac{x^n}{n} \). Então, temos: \[ a_{n+1} = \frac{x^{n+1}}{n+1} \] e \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{x^{n+1}}{n+1}}{\frac{x^n}{n}} = \frac{x \cdot n}{n+1} = x \cdot \frac{n}{n+1} \] 2. Calculando o limite: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| x \cdot \frac{n}{n+1} \right| = |x| \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = |x| \cdot 1 = |x| \] 3. Condição de convergência: A série converge se \( L < 1 \): \[ |x| < 1 \] 4. Intervalo de convergência: Portanto, o intervalo de convergência é \( (-1, 1) \). 5. Verificando as extremidades: - Para \( x = -1 \): \[ s(-1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \] que é a série de Leibniz e converge. - Para \( x = 1 \): \[ s(1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \] que é a série harmônica e diverge. Assim, o intervalo de convergência da série \( s(x) \) é \( [-1, 1) \).