Calcule fórmula fechadas para as seguintes somas: a) 1+(1+2 )+(1+2+3 )+⋯+(1+2+⋯+n ) b) 1 ∙2 ∙3+2∙3 ∙4+3 ∙4 ∙5+⋯+n ∙ (n+1 ) ∙ (n+2 )

Claro! Vou calcular as fórmulas fechadas para as somas que você mencionou: a) A soma da sequência 1+(1+2)+(1+2+3)+⋯+(1+2+⋯+n) pode ser calculada usando a fórmula da soma dos primeiros n números naturais, que é dada por Sn = n(n+1)/2. No entanto, como estamos somando sequências de números consecutivos, precisamos ajustar essa fórmula. Podemos reescrever a soma como: 1 + (1+2) + (1+2+3) + ⋯ + (1+2+⋯+n) = n(1) + (n-1)(2) + (n-2)(3) + ⋯ + 1(n) Podemos simplificar essa expressão para: 1 + (n-1)(2) + (n-2)(3) + ⋯ + 1(n) = 1 + 2(n-1) + 3(n-2) + ⋯ + n(1) Agora, podemos usar a fórmula da soma dos primeiros n números naturais para calcular cada termo dessa soma: 1 + 2(n-1) + 3(n-2) + ⋯ + n(1) = n(n+1)/2 Portanto, a fórmula fechada para essa soma é n(n+1)/2. b) A soma da sequência 1∙2∙3+2∙3∙4+3∙4∙5+⋯+n∙(n+1)∙(n+2) também pode ser calculada usando uma fórmula fechada. Podemos reescrever a soma como: 1∙2∙3 + 2∙3∙4 + 3∙4∙5 + ⋯ + n∙(n+1)∙(n+2) = (n+2)! - 2! Aqui, (n+2)! representa o fatorial de (n+2) e 2! representa o fatorial de 2. Portanto, a fórmula fechada para essa soma é (n+2)! - 2!. Espero que isso ajude! Se você tiver mais dúvidas, é só perguntar.