Joaquim pagou n reais por cada uma de m canetas e m reais por cada um de n lápis, tendo gastado em média R$7,50 por item comprado. Em seguida, Joaq...

Vamos resolver o problema utilizando álgebra. Sabemos que Joaquim pagou n reais por cada uma de m canetas e m reais por cada um de n lápis, gastando em média R$7,50 por item comprado. Isso pode ser representado pela seguinte equação: (n * m + m * n) / (m + n) = 7,50 Agora, vamos considerar a segunda situação, em que cada caneta custa 1 real a menos e cada lápis custa 1 real a mais. A nova média de gasto por item é R$7,75. Podemos representar isso pela seguinte equação: ((n - 1) * (m + 1) + (m + 1) * (n - 1)) / (m + n) = 7,75 Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de n e m. Substituindo a primeira equação na segunda, temos: ((n - 1) * (m + 1) + (m + 1) * (n - 1)) / (m + n) = 7,50 Simplificando a equação, temos: 2 * (n - 1) * (m + 1) = 7,50 * (m + n) Expandindo os termos, temos: 2 * (n * m - n + m - 1) = 7,50 * (m + n) Simplificando novamente, temos: 2 * n * m - 2 * n + 2 * m - 2 = 7,50 * m + 7,50 * n Agora, vamos isolar a variável n: 2 * n * m - 2 * n - 7,50 * n = 7,50 * m - 2 * m + 2 Simplificando, temos: n * (2 * m - 2 - 7,50) = 5,50 * m + 2 n * (2 * m - 9,50) = 5,50 * m + 2 n = (5,50 * m + 2) / (2 * m - 9,50) Agora, podemos substituir essa expressão na primeira equação para encontrar o valor de m: ((5,50 * m + 2) / (2 * m - 9,50)) * m + m * ((5,50 * m + 2) / (2 * m - 9,50)) = 7,50 Resolvendo essa equação, encontraremos o valor de m. Em seguida, substituímos o valor de m na expressão de n para encontrar o valor de n.