Exemplo: Calcule a massa do sólido limitado pelo paraboloide z = x2 + y2 e pelo plano z = 4 sendo a densidade em cada ponto do solido dada por (x,...

Para calcular a massa do sólido limitado pelo paraboloide z = x^2 + y^2 e pelo plano z = 4, sendo a densidade em cada ponto do sólido dada por γ(x,y,z) = (x^2 + y^2)^(1/2), podemos utilizar a integral tripla. A massa do sólido pode ser calculada pela seguinte integral tripla: M = ∭ γ(x,y,z) dV Onde dV representa o elemento de volume. No caso do sólido limitado pelo paraboloide z = x^2 + y^2 e pelo plano z = 4, podemos escrever a integral tripla como: M = ∭ (x^2 + y^2)^(1/2) dV Para calcular essa integral tripla, é necessário determinar os limites de integração adequados para x, y e z. Dado que o paraboloide está limitado pelo plano z = 4, temos que z varia de 0 a 4. Para determinar os limites de integração para x e y, podemos observar a figura que representa o sólido. No caso, o paraboloide é uma superfície de revolução em torno do eixo z, formando um cone. Assim, podemos utilizar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos. Em coordenadas cilíndricas, temos: x = r cosθ y = r senθ z = z Onde r é o raio e θ é o ângulo em relação ao eixo z. Os limites de integração para r e θ dependem da região do sólido que estamos considerando. Sem a figura, não é possível determinar esses limites de forma precisa. Portanto, para calcular a massa do sólido, é necessário determinar os limites de integração adequados para x, y e z, com base na figura fornecida.