a03_08_01

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Exemplo: Calcule a integral sendo Q o sólido limitado pelo cilindro 
x2+ y2≤1 e pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = 4 - y2 - x2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe geometricamente o sólido: 
Vejamos que das equações z = 4 - y2 - x2 e x2+ y2=1, concluímos que z = 3, ou seja, a 
interseção ocorre no plano z=3. 
 
As coordenadas cilíndricas serão: 
 
 
 
Podemos escrever as equações como: z = 4 -(y2 + x2) = 4 - r2. 
Temos então, z = 0 e z = 4 - r2, portanto podemos dizer que 0 ≤ z ≤ 4 - r2, com isto 
definimos o limite de z. 
 
Observando a projeção do sólido, no plano xy, podemos afirmar que teremos um disco 
x2+ y2≤1 então, o intervalo de r e ϴ podem ser definidos como 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ ϴ ≤ 2. 
 
 
 
 
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Concluímos que os limites de integração do sólido será: 
 
 
 
Escreveremos a integral tripla como: 
 
 
 
 
 
Observe que trocamos a ordem de integração para começar por z, pois o limite de z 
contém uma função que depende de r. 
 
Integrando primeiramente em z, obtemos: 
 
 
 
Observe que r3 não é integrado, pois ele é considerado uma constante porque estamos 
integrando em relação a z e os limites de integração serão aplicados apenas em z. 
 
 
 
A próxima integral que será resolvida será em ϴ: 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: Calcule onde o sólido está contido dentro do cilindro x2 + y2 = 
4 e entre os planos z = 1 e z = 4. 
 
Observe a região D formada pelo sólido na figura a seguir: 
 
 
 
 
1o Passo - Decidir qual mudança de variável a ser utilizada: Como o integrando envolve 
 e a região de integração é um cilindro, devemos calcular a integral utilizando 
coordenadas cilíndricas, onde será: 
 
 
 
2o Passo - Decidir os limites de integração: Como e x2 + y2 = 4 podemos 
concluir que 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ϴ ≤ 2. Pelos planos z = 1 e z = 4 concluímos que 1≤ z ≤ 4. 
 
3º Passo - Montar a integral não se esquecendo de colocar o determinante do Jacobiano 
e utilizando as coordenadas cilíndricas no integrando. 
 
 
 
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Esta é uma integral bem simples de se resolver. 
 
 
 
Exemplo: Calcule a massa do sólido limitado pelo paraboloide z = x2 + y2 e pelo plano z 
= 4 sendo a densidade em cada ponto do solido dada por (x,y,z) = (x2 + y2) (1/2). 
 
Observe a figura que representa o sólido. 
 
 
A massa será dada pela integral tripla: 
 
1o Passo - Decidir qual mudança de variável a ser utilizada: Como o integrando envolve 
 e a região de integração é um cilindro, devemos calcular a integral 
utilizando coordenadas cilíndricas, onde será: 
 
 
 
 
 
 
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2o Passo - Decidir os limites de integração: Como está limitado pelo paraboloide z = x2 + 
y2 e pelo plano z = 4 concluímos que x2 + y2 ≤ z ≤ 4. Consequentemente, como 
 podemos concluir que 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ϴ ≤ 2. 
 
3º Passo - Montar a integral não se esquecendo de colocar o determinante do Jacobiano 
e utilizando as coordenadas cilíndricas no integrando. 
 
 
 
Mas ainda podemos aplicar as coordenadas cilíndricas no limite de integração e 
simplificando o integrando, ficando: 
 
 
 
Esta também é uma integral bem simples de se resolver.