Veri�que se as funções abaixo são injetivas ou sobrejetivas provando ou exibindo contra-exemplo. (a) f : R2 → R, f(x, y) = x2 − y2. f não é injetiv...
Veri�que se as funções abaixo são injetivas ou sobrejetivas provando ou exibindo contra-exemplo.
(a) f : R2 → R, f(x, y) = x2 − y2.
f não é injetiva: Basta ver que f(1, 0) = f(−1, 0) = 1.
f é sobrejetiva: De fato, dado z > 0, basta tomar x = √z e y = 0, assim teremos f(x, 0) = f(√z, 0) = (√z)2 − 02 = z. Agora, se z < 0 basta tomar x = 0 e y = √−z, assim teremos f(0, y) = f(0, √−z) = 02 − (√−z)2 = z.
A função f não é injetiva.
A função f é sobrejetiva.
(a) f : R2 → R, f(x, y) = x2 − y2.
f não é injetiva: Basta ver que f(1, 0) = f(−1, 0) = 1.
f é sobrejetiva: De fato, dado z > 0, basta tomar x = √z e y = 0, assim teremos f(x, 0) = f(√z, 0) = (√z)2 − 02 = z. Agora, se z < 0 basta tomar x = 0 e y = √−z, assim teremos f(0, y) = f(0, √−z) = 02 − (√−z)2 = z.
A função f não é injetiva.
A função f é sobrejetiva.
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💡 1 Resposta
Ed 
A resposta está correta. A função f(x, y) = x² - y² não é injetiva, pois existem dois valores diferentes de (x, y) que produzem o mesmo resultado. Por exemplo, f(1, 0) = f(-1, 0) = 1. Já a função é sobrejetiva, pois para qualquer valor z em R, podemos encontrar um par (x, y) em R² tal que f(x, y) = z. Se z for positivo, podemos tomar x = √z e y = 0, e se z for negativo, podemos tomar x = 0 e y = √-z.
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