Sendo assim, você deverá determinar as soluções u da seguinte equação diferencial parcial: a) Determine soluções uxx - u = 0 que dependam de x e y...

a) A equação diferencial parcial uxx - u = 0 é uma equação de onda unidimensional homogênea. Podemos assumir que a solução é da forma u(x,y) = X(x)Y(y). Substituindo na equação, obtemos: X''(x)Y(y) - X(x)Y(y) = 0 Dividindo ambos os lados por X(x)Y(y), temos: (X''(x) / X(x)) + (Y''(y) / Y(y)) = 0 Como a equação é homogênea, a soma das duas expressões entre parênteses deve ser igual a uma constante negativa, que chamaremos de -λ^2: (X''(x) / X(x)) + (Y''(y) / Y(y)) = -λ^2 Agora, podemos resolver as duas equações diferenciais ordinárias separadamente: X''(x) + λ^2 X(x) = 0 Y''(y) - λ^2 Y(y) = 0 A solução geral da primeira equação é da forma: X(x) = A cos(λx) + B sin(λx) A solução geral da segunda equação é da forma: Y(y) = C cosh(λy) + D sinh(λy) Portanto, a solução geral da equação diferencial parcial é da forma: u(x,y) = (A cos(λx) + B sin(λx))(C cosh(λy) + D sinh(λy)) b) A equação diferencial parcial uxy = -ux é uma equação de primeira ordem. Podemos reescrevê-la como: du/dy = -u/x Multiplicando ambos os lados por x e rearranjando, temos: x du/dy + u = 0 Esta é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Podemos resolvê-la usando o fator integrante e^(ln|x|), que nos dá: d/dy (ux) = d/dy (xu) Integrando ambos os lados em relação a y, obtemos: ux = xy + f(x) onde f(x) é uma função arbitrária de x. Podemos diferenciar esta equação em relação a x para obter: uxx = y + f'(x) Substituindo esta expressão na equação original, obtemos: y + f'(x) = -u Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem separável. Podemos reescrevê-la como: dy/dx = -(y + f'(x)) Resolvendo esta equação, obtemos: y = Ce^-x - f(x) onde C é uma constante de integração. Portanto, a solução geral da equação diferencial parcial é da forma: u(x,y) = -Ce^-x + f(x) - xy onde f(x) é uma função arbitrária de x.