Prove that (R, +) is a commutative group, where R is the set of real numbers and the binary operation is defined as x + y = x + y - 3. The operati...

Para provar que (R, +) é um grupo comutativo, precisamos verificar se as seguintes propriedades são satisfeitas: 1. Associatividade: Para todo x, y e z em R, (x + y) + z = x + (y + z). 2. Elemento neutro: Existe um elemento 0 em R tal que para todo x em R, x + 0 = 0 + x = x. 3. Inverso: Para todo x em R, existe um elemento -x em R tal que x + (-x) = (-x) + x = 0. 4. Comutatividade: Para todo x e y em R, x + y = y + x. Vamos verificar cada uma dessas propriedades: 1. Associatividade: (x + y) + z = (x + y + z) - 3 = x + (y + z) - 3 = x + (y + z) + (-3) = x + (y + z - 3) = x + (y + z - 3 + 3) - 3 = x + (y + z - 3) + 0 - 3 = x + (y + z - 3) + (0 - 3) = x + (y + z - 6) = (x + y + z) - 6 = x + (y + z) - 3 = x + (y + z - 3) = x + (y + z - 3 + 3) - 3 = (x + y + z) - 3 = (x + y) + z - 3. Portanto, (R, +) é associativo. 2. Elemento neutro: Para todo x em R, temos x + 0 = x + 0 - 3 = x - 3 = x. Portanto, 0 é o elemento neutro de (R, +). 3. Inverso: Para todo x em R, o inverso de x é -x, pois x + (-x) = (-x) + x = x - x - 3 = -3. Portanto, todo elemento em R tem um inverso em R. 4. Comutatividade: Para todo x e y em R, temos x + y = x + y - 3 = y + x - 3 = y + x. Portanto, (R, +) é comutativo. Assim, (R, +) é um grupo comutativo.