Let A be a ring and a be an element of A. Show that I = {2x + 3y | x, y are integers} is an ideal of Z.

Para mostrar que I = {2x + 3y | x, y são inteiros} é um ideal de Z, precisamos verificar duas propriedades: 1. I é um subgrupo aditivo de Z. 2. Para todo a em A e todo i em I, temos que ai e ia estão em I. 1. Para mostrar que I é um subgrupo aditivo de Z, precisamos verificar que: - 0 está em I: 2(0) + 3(0) = 0, então 0 está em I. - I é fechado sob adição: se i e j estão em I, então i = 2x1 + 3y1 e j = 2x2 + 3y2 para alguns inteiros x1, y1, x2 e y2. Então i + j = 2(x1 + x2) + 3(y1 + y2), que também está em I. - I é fechado sob inversos aditivos: se i está em I, então i = 2x + 3y para alguns inteiros x e y. Então -i = -2x - 3y = 2(-x-2) + 3(-y-2), que também está em I. Portanto, I é um subgrupo aditivo de Z. 2. Agora, precisamos mostrar que para todo a em A e todo i em I, temos que ai e ia estão em I. Seja a em A e i em I. Então i = 2x + 3y para alguns inteiros x e y. Então ai = a(2x + 3y) = 2(ax) + 3(ay), que está em I, pois ax e ay são inteiros. Da mesma forma, ia = (2x + 3y)a = 2(xa) + 3(ya), que também está em I. Portanto, I é um ideal de Z.