Dentre os subconjuntos do conjunto com 3 elementos, quantos são os que não possuem dois números consecutivos? O problema pode ser resolvido pelo L...

Podemos resolver esse problema utilizando o Princípio da Inclusão e Exclusão (PIE) e o Lema 1. Primeiramente, vamos calcular o número total de subconjuntos do conjunto com 3 elementos, que é 2^3 = 8. Agora, vamos contar quantos subconjuntos possuem pelo menos dois números consecutivos. Podemos escolher um dos três números como o primeiro elemento do par consecutivo e, em seguida, escolher um dos dois números restantes como o segundo elemento do par. Portanto, temos 3 x 2 = 6 subconjuntos com pelo menos dois números consecutivos. No entanto, observe que contamos duas vezes os subconjuntos que possuem três números consecutivos (123). Portanto, precisamos subtrair esses subconjuntos do total. Existem 3 subconjuntos com três números consecutivos. Finalmente, pelo Lema 1, o número de subconjuntos que não possuem dois números consecutivos é dado por: 2^3 - C(1,1) x 2^2 + C(2,1) x 2^1 - C(3,1) x 2^0 = 8 - 2 x 4 + 2 x 2 - 1 x 1 = 3 Portanto, existem 3 subconjuntos do conjunto com 3 elementos que não possuem dois números consecutivos.