Resolva a equação diferencial 4y' + 13y = 0. A solução geral da equação diferencial é da forma y = acos(3x) + bsen(3x), a e b reais.

A equação diferencial 4y' + 13y = 0 é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, podemos utilizar o método da separação de variáveis. Começamos isolando as variáveis y e y': 4y' + 13y = 0 4y' = -13y y'/y = -13/4 Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a x: ∫ y'/y dx = ∫ -13/4 dx ln|y| = (-13/4)x + C1 Onde C1 é a constante de integração. Podemos simplificar a equação acima aplicando a propriedade dos logaritmos: |y| = e^(-13/4)x + C2 Onde C2 é outra constante de integração. Podemos reescrever a equação acima como: y = ± e^(-13/4)x + C3 Onde C3 é uma constante de integração que engloba as constantes C1 e C2. Para encontrar a solução geral da equação, precisamos determinar o valor de C3. Sabemos que a solução geral é da forma y = acos(3x) + bsen(3x), então podemos comparar essa forma com a equação acima: y = ± e^(-13/4)x + C3 acos(3x) + bsen(3x) = ± e^(-13/4)x + C3 Podemos ver que a equação acima só será verdadeira se a constante C3 for igual a zero e se escolhermos o sinal positivo na equação acima. Portanto, a solução geral da equação diferencial 4y' + 13y = 0 é: y = e^(-13/4)x * cos(3x)

Para resolver a equação diferencial dada, que é uma equação diferencial linear de primeira ordem, podemos usar o método da separação de variáveis. A equação é:

4y' + 13y = 0

Primeiro, divida ambos os lados da equação por 4 para simplificar:

y' + (13/4)y = 0

Agora, reescrevemos a equação na forma y' = - (13/4)y e separamos as variáveis y e x:

y' = - (13/4)y

dy/dx = - (13/4)y

Agora, vamos separar as variáveis, colocando todos os termos relacionados a y de um lado e todos os termos relacionados a x do outro lado:

(dy/y) = - (13/4)dx

Agora, integramos ambos os lados:

∫(1/y) dy = ∫(-13/4) dx

ln|y| = (-13/4)x + C

Aqui, C é uma constante de integração. Agora, podemos exponenciar ambos os lados para eliminar o logaritmo natural:

|y| = e^((-13/4)x + C)

Agora, podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz que |a| = a ou |a| = -a, dependendo do sinal. Nesse caso, temos:

y = ±e^C * e^(-13/4)x

A constante positiva e^C pode ser absorvida em uma nova constante, então podemos escrever:

y = A * e^(-13/4)x

Aqui, A é uma constante real que inclui a constante e^C.

Agora, compare essa solução com a forma y = acos(3x) + bsen(3x). Você pode ver que a solução geral da equação diferencial é da forma:

y = A * e^(-13/4)x

Assim, a solução da equação diferencial dada não se encaixa na forma y = acos(3x) + bsen(3x), mas na forma exponencial acima.