Verifique se equação diferencial é homogênea e em caso afirmativo resolva-a satisfazendo a condição de contorno dy dx=xy x2−y2,    y(1)=1

A equação diferencial dy/dx = xy/(x²-y²) é homogênea, pois pode ser escrita na forma f(y/x) = f(-y/x). Para resolvê-la, podemos fazer a substituição y = vx, o que nos dá: dy/dx = x dv/dx + v Substituindo na equação original, temos: x dv/dx + v = v/(1-v²) Simplificando, temos: x dv/dx = v(1-v²)/(1+v²) Separando as variáveis, temos: (1+v²)/(v(1-v²)) dv = dx/x Fazendo a integração, temos: ln|v| - 1/2 ln|1+v²| = ln|x| + C Substituindo v = y/x e a condição de contorno y(1) = 1, temos: ln|y/x| - 1/2 ln|1+y²/x²| = ln|x| + ln|C| Simplificando, temos: y = Cx(1+y²/x²)^(1/2) Substituindo a condição de contorno, temos: 1 = C(1^2+1^2)^(1/2) C = 1/√2 Portanto, a solução da equação diferencial com a condição de contorno dada é: y = (x/√2)(1+y²/x²)^(1/2)