Verifique se equação diferencial é homogênea e em caso afirmativo resolva-a satisfazendo a condição de contorno dy/dx =xy / x2−y2 , y(1)=1Escolha uma opção:a. 3xy2 − ln∣ y/ x∣ = ln∣ y /x ∣ +2b. −x2 / 2y2 − ln∣ y/ x ∣ = ln|x|−1/2c. −x2/y2 − ey/x = ln∣ y / x ∣ −3/4d. x2/y2 − 2ln∣ y/ x ∣ = ln|x|e. −x2y − 2ln ∣ y /x ∣ = ln|x|−1

Verifique se equação diferencial é homogênea e em caso afirmativo resolva-a satisfazendo a condição de contorno dy/dx =xy / x2−y2 , y(1)=1 Escol...

Verifique se equação diferencial é homogênea e em caso afirmativo resolva-a satisfazendo a condição de contorno dy/dx =xy / x²−y² , y(1)=1

Escolha uma opção:

a. 3xy²− ln∣ y/ x∣ = ln∣ y /x ∣ +2

b. −x²/ 2y² − ln∣ y/ x ∣ = ln|x|−1/2

c. −x²/y²− e^y/x= ln∣ y / x ∣ −3/4

d. x²/y²− 2ln∣ y/ x ∣ = ln|x|

e. −x²y − 2ln ∣ y /x ∣ = ln|x|−1

Equações Diferenciais I

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IFMG

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Elizangela Pimenta

11/01/2024

💡 1 Resposta

Ed

11.01.2024

A equação diferencial é homogênea, pois pode ser escrita na forma dy/dx = f(x,y), onde f(x,y) = xy/(x²-y²) é uma função homogênea de grau 0. Para resolvê-la, podemos fazer a substituição y = vx, o que nos dá: dy/dx = v + x dv/dx Substituindo na equação original, temos: v + x dv/dx = v/(1-v²) Simplificando, temos: (1-v²) dv = x/(1-v²) dx Integrando ambos os lados, temos: -1/2 ln|1-v²| = 1/2 ln|x| + C Substituindo v = y/x, temos: -1/2 ln|1-(y/x)²| = 1/2 ln|x| + C Resolvendo para y, temos: y = ± x sqrt(C²-x²) Usando a condição de contorno y(1) = 1, temos: 1 = ± sqrt(C²-1) Como queremos uma solução real, temos: C² - 1 = 1 C = ± sqrt(2) Portanto, a solução da equação diferencial que satisfaz a condição de contorno é: y = ± x sqrt(2-x²) A alternativa correta é a letra D.

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