Qual o comprimento da corda PQ que uma reta de equação 3x + 4y – 6 = 0 determina na circunferência de equação x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0? Escolha um...

Para encontrar o comprimento da corda PQ que a reta 3x + 4y - 6 = 0 determina na circunferência x² + y² - 2x - 4y + 1 = 0, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar as coordenadas dos pontos de interseção da reta com a circunferência, que são as extremidades da corda PQ. 2. Calcular a distância entre esses dois pontos. Resolvendo o sistema formado pelas equações da reta e da circunferência, encontramos as coordenadas dos pontos de interseção: x² + y² - 2x - 4y + 1 = 0 3x + 4y - 6 = 0 Substituindo a segunda equação na primeira, temos: x² + y² - 2x - 4y + 1 = 0 x² + y² - 2x - 4(3x/4 + 3/2) + 1 = 0 x² + y² - 2x - 3x - 9/2 + 1 = 0 x² + y² - 5x - 7/2 = 0 Completando o quadrado para x, temos: (x - 5/2)² + y² = 25/4 + 7/2 (x - 5/2)² + y² = 39/4 Substituindo y² por (39/4 - (x - 5/2)²), temos: x² + (39/4 - (x - 5/2)²) = 39/4 4x² + 39 - 39x + 25 = 39 4x² - 39x + 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos: x = (39 ± sqrt(39² - 4*4*1))/8 x = (39 ± sqrt(1433))/8 Substituindo x na equação da reta, encontramos as coordenadas dos pontos de interseção: y = (6 - 3x)/4 Para x = (39 + sqrt(1433))/8, temos: y = (6 - 3*(39 + sqrt(1433))/8)/4 y = (3 - sqrt(1433))/4 Para x = (39 - sqrt(1433))/8, temos: y = (6 - 3*(39 - sqrt(1433))/8)/4 y = (3 + sqrt(1433))/4 Agora podemos calcular a distância entre esses dois pontos: d = sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) d = sqrt(((39 + sqrt(1433))/8 - (39 - sqrt(1433))/8)² + ((3 - sqrt(1433))/4 - (3 + sqrt(1433))/4)²) d = sqrt((sqrt(1433)/4)² + (2sqrt(1433)/4)²) d = sqrt(5/4)*sqrt(1433) d = sqrt(1433)/2 Portanto, o comprimento da corda PQ é igual a \( \frac{\sqrt[]{1433}}{2} \), que corresponde à alternativa d.