Um dos teoremas mais utilizados para calcular integrais duplas e triplas e o teorema de fubini , ele nos permite inverter a ordem de integração. Es...

Para calcular a integral dada, podemos utilizar o Teorema de Fubini para inverter a ordem de integração. Primeiro, integramos em relação a z, depois em relação a x e, por fim, em relação a y. Assim, temos: ∫∫∫ 2π 5 2 ez cos (y) +3x dz dx dy = ∫∫∫ 2π 5 2 ez cos (y) +3x dz dy dx 0 -3 0 π Integrando em relação a z, temos: ∫∫∫ 2π 5 2 ez cos (y) +3x dz dy dx = ∫∫ [2π 5 2 e^(z cos (y) +3x)]_0^π dy dx 0 -3 Substituindo os limites de integração e integrando em relação a y, temos: ∫∫ [2π 5 2 e^(z cos (y) +3x)]_0^π dy dx = ∫ [-10e^(3x) + 10e^(3x)cos(z)] dx -3 0 Integrando em relação a x, temos: ∫ [-10e^(3x) + 10e^(3x)cos(z)] dx = [-10/3 e^(3x) + 10/3 e^(3x)cos(z)]_0^π -3 Substituindo os limites de integração, temos: [-10/3 e^(3π) + 10/3 e^(3π)cos(z)] - [-10/3 + 10/3 cos(z)] Simplificando, temos: [-10/3 e^(3π) + 10/3 e^(3π)cos(z)] + [10/3 - 10/3 cos(z)] Que pode ser escrito como: 10/3 (e^(3π)cos(z) - 1) Portanto, o valor da integral é 10/3 (e^(3π)cos(z) - 1).