Quantos inteiros entre 1 e 1.000.000 não são nem quadrados perfeitos nem cubos perfeitos? Sejam os conjuntos A = {x ∈ Z|1 ≤ x ≤ 1.000.000 e x é...

A quantidade de inteiros entre 1 e 1.000.000 que não são nem quadrados perfeitos nem cubos perfeitos é de 998.910. Isso pode ser obtido subtraindo a quantidade de inteiros que são quadrados perfeitos ou cubos perfeitos (n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)) de 1.000.000. Como A é o conjunto de quadrados perfeitos e B é o conjunto de cubos perfeitos, temos que n(A) = 1000 e n(B) = 100. Para encontrar n(A ∩ B), precisamos encontrar a quantidade de sextas potências perfeitas entre 1 e 1.000.000. Como a sexta potência perfeita é o produto de um quadrado perfeito por um cubo perfeito, podemos encontrar essa quantidade encontrando a quantidade de quadrados perfeitos e a quantidade de cubos perfeitos que são divisíveis por um quadrado perfeito e um cubo perfeito, respectivamente. Para os quadrados perfeitos, temos que 1 ≤ x² ≤ 1.000.000, o que implica que 1 ≤ x ≤ 1000. Portanto, existem 1000 quadrados perfeitos entre 1 e 1.000.000. Para os cubos perfeitos, temos que 1 ≤ x³ ≤ 1.000.000, o que implica que 1 ≤ x ≤ 100. Portanto, existem 100 cubos perfeitos entre 1 e 1.000.000. Agora, precisamos encontrar a quantidade de sextas potências perfeitas que são divisíveis por um quadrado perfeito e um cubo perfeito. Isso ocorre quando x⁶ = (x²)³ = (x³)². Portanto, precisamos encontrar a quantidade de números que são tanto quadrados perfeitos quanto cubos perfeitos. Para os quadrados perfeitos, temos que 1 ≤ x² ≤ 1.000.000, o que implica que 1 ≤ x ≤ 1000. Portanto, existem 1000 quadrados perfeitos entre 1 e 1.000.000. Para os cubos perfeitos, temos que 1 ≤ x³ ≤ 1.000.000, o que implica que 1 ≤ x ≤ 100. Portanto, existem 100 cubos perfeitos entre 1 e 1.000.000. Existem 10 números que são tanto quadrados perfeitos quanto cubos perfeitos: 1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441 e 1000000. Portanto, n(A ∩ B) = 10 e n(A ∪ B) = 1090. Assim, a quantidade de inteiros entre 1 e 1.000.000 que não são nem quadrados perfeitos nem cubos perfeitos é de 998.910.