a) Considere o conjunto . Mostre que G é um subgrupo de que é o grupo dos números reais excuindo o zero, munido da operação usual de multiplicação....

a) Para mostrar que G é um subgrupo de R* (grupo dos números reais exceto o zero), precisamos verificar se G satisfaz as três propriedades de um subgrupo: 1. A identidade de R* (1) está em G. 2. Se a, b estão em G, então ab também está em G. 3. Se a está em G, então a^-1 também está em G. 1. A identidade de R* é 1, que está em G, pois 1 = 2^0. 2. Se a, b estão em G, então a = 2^n e b = 2^m para alguns inteiros n, m. Então ab = 2^n * 2^m = 2^(n+m), que também está em G. 3. Se a está em G, então a = 2^n para algum inteiro n. Então a^-1 = 2^(-n), que também está em G. Portanto, G é um subgrupo de R*. b) Para mostrar que J é um subgrupo de C (grupo dos números complexos), precisamos verificar se J satisfaz as três propriedades de um subgrupo: 1. O elemento neutro de C (0) está em J. 2. Se z, w estão em J, então z + w também está em J. 3. Se z está em J, então -z também está em J. 1. O elemento neutro de C é 0, que está em J, pois 0 = 0 + 0i. 2. Se z = a + bi e w = c + di estão em J, então z + w = (a + c) + (b + d)i também está em J, pois a + c = b + d. 3. Se z = a + bi está em J, então -z = -a - bi também está em J, pois -a - b = -(a + b). Portanto, J é um subgrupo de C. c) Para mostrar que G e J são grupos isomorfos, precisamos mostrar que existe uma função f: G -> J que é um isomorfismo de grupos, ou seja, f é um homomorfismo de grupos, injetora e sobrejetora. 1. Para mostrar que f é um homomorfismo de grupos, precisamos mostrar que f(ab) = f(a) + f(b) para todos a, b em G. Se a = 2^n e b = 2^m, então ab = 2^(n+m) e f(ab) = n + m = f(a) + f(b). 2. Para mostrar que f é injetora, precisamos mostrar que se f(a) = f(b), então a = b para todos a, b em G. Se f(a) = f(b), então n = m para a = 2^n e b = 2^m. Portanto, a = b. 3. Para mostrar que f é sobrejetora, precisamos mostrar que para todo j em J, existe um a em G tal que f(a) = j. Se j = a + bi, então podemos escolher a = 2^(a+b)/2 e b = 2^(b-a)/2, pois a + b = log2|j| e a - b = arg(j). Então f(a) = a + b = j. 4. Concluímos que f é um isomorfismo de grupos, pois é um homomorfismo de grupos, injetora e sobrejetora. Portanto, G e J são grupos isomorfos.