Um fabricante de sabão em pó deseja usar embalagens em forma de bloco retangular com o menor gasto possível de material, de modo que:- uma das dime...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula do volume de um paralelepípedo, que é dada por V = a x b x h, onde "a", "b" e "h" são as dimensões do paralelepípedo. Sabemos que uma das dimensões da base é o triplo da outra, ou seja, se chamarmos a menor dimensão de "x", a maior será "3x". Além disso, o volume deve ser de 2.304 cm³. Substituindo esses valores na fórmula do volume, temos: 2.304 = x * 3x * h 2.304 = 3x² * h h = 2.304 / 3x² Agora, precisamos encontrar o valor de "x" que minimiza o gasto de material. Para isso, podemos utilizar a fórmula da área total da caixa, que é dada por A = 2ab + 2ah + 2bh. Substituindo as dimensões em função de "x" na fórmula da área, temos: A = 2x * 3x + 2x * h + 2 * 3x * h A = 6x² + 8xh Substituindo o valor de "h" encontrado anteriormente, temos: A = 6x² + 8x * (2.304 / 3x²) A = 6x² + 6.144 / x Agora, podemos derivar a função da área em relação a "x" e igualar a zero para encontrar o valor de "x" que minimiza a área: dA/dx = 12x - 6.144 / x² 12x - 6.144 / x² = 0 12x³ = 6.144 x³ = 0.512 x ≈ 0,8 cm Portanto, a menor dimensão da base é de aproximadamente 0,8 cm e a maior dimensão é de 3 vezes esse valor, ou seja, 2,4 cm. Substituindo esses valores na fórmula do volume, encontramos a altura da caixa: h = 2.304 / (3 * 0,8²) h ≈ 1,5 cm Portanto, a altura da caixa de sabão em pó deve ser de aproximadamente 1,5 cm para que o gasto de material seja o menor possível.