a) Na série, n ∑ ∞ =      1 5 2 calcule o n-ésimo termo da somas parciais { }nS e calcule, se existir, o limite da sequência { }nS b) ...

a) O n-ésimo termo da soma parcial { }nS é dado por S_n = (1/2) + (1/4) + ... + (1/2^n). Logo, S_n = (1 - (1/2^n+1)) / (1/2) = 2 - 2/(2^n+1). O limite da sequência { }nS é dado por lim S_n = lim (2 - 2/(2^n+1)) = 2. b) Usando o Teorema do limite do termo geral, temos que lim (4n^n+1 / 3^n+1) = 0, pois o expoente de n no numerador é menor que o expoente de n no denominador. Portanto, a série ∑∞ = ++1 23 3 4n nn não converge. c) A série ∑∞ = −+1 2 239 3 n nn é uma série encaixante, pois cada termo é menor que o anterior. Para calcular sua soma, podemos reescrevê-la como ∑∞ =1n (1/(3n-2) - 1/(3n+1)). Fazendo algumas manipulações algébricas, obtemos que a soma é -7/8. d) i) Falsa. Um contraexemplo é a série harmônica alternada ∑∞ =1 (-1)^n+1 / n, que é condicionalmente convergente. ii) Verdadeira. Como a série ∑∞ =1n na converge, a série ∑∞ =500n na diverge, pois estamos adicionando um número finito de termos à série original. a) Falsa. O n-ésimo termo da soma parcial { }nS é S_n = 2 - 2/(2^n+1), e não 1/2n. b) Verdadeira. O Teorema do limite do termo geral pode ser usado para mostrar que a série ∑∞ = ++1 23 3 4n nn não converge. c) Verdadeira. A série ∑∞ = −+1 2 239 3 n nn é uma série encaixante e sua soma é -7/8. d) A afirmação i é falsa, pois existem séries condicionalmente convergentes. A afirmação ii é verdadeira, pois a adição de um número finito de termos não altera a convergência/divergência da série original.