Calcule, se existir, os limites: a) lim(x,y)→(0,0) [(4y^2 + 2x^2)/(y^2 + x^2)]; b) lim(x,y)→(0,0) [(3y^2 + 2x^2)/(2y^2 + x^2)]; c) lim(x,y)→(0,0) [...

a) Para calcular o limite, podemos usar o teorema do confronto. Dividindo o numerador e o denominador por x^2, temos: (4y^2/x^2 + 2)/(y^2/x^2 + 1). Quando (x,y) se aproxima de (0,0), y^2/x^2 se aproxima de 0/0, que é uma forma indeterminada. Portanto, podemos usar a regra de L'Hôpital para calcular o limite. Derivando o numerador e o denominador em relação a x, temos: lim(x,y)→(0,0) [(8x)/(2x)] = 4. Portanto, o limite é igual a 4. b) Novamente, podemos usar o teorema do confronto. Dividindo o numerador e o denominador por x^2, temos: (3y^2/x^2 + 2)/(2y^2/x^2 + 1). Quando (x,y) se aproxima de (0,0), y^2/x^2 se aproxima de 0/0, que é uma forma indeterminada. Portanto, podemos usar a regra de L'Hôpital para calcular o limite. Derivando o numerador e o denominador em relação a x, temos: lim(x,y)→(0,0) [(6x)/(2x)] = 3. Portanto, o limite é igual a 3. c) Podemos reescrever a expressão como (y/x) * (sen(y)/sen(x)) = y/x * (sen(y)/y) * (x/sen(x)). Quando (x,y) se aproxima de (0,0), temos que sen(x) e sen(y) se aproximam de 0, e sen(y)/y se aproxima de 1 e x/sen(x) se aproxima de 1. Portanto, o limite é igual a 1. d) Novamente, podemos usar o teorema do confronto. Dividindo o numerador e o denominador por x^2, temos: (4y^2/x^2 + 10)/(y^2/x^2 + 1). Quando (x,y) se aproxima de (0,0), y^2/x^2 se aproxima de 0/0, que é uma forma indeterminada. Portanto, podemos usar a regra de L'Hôpital para calcular o limite. Derivando o numerador e o denominador em relação a x, temos: lim(x,y)→(0,0) [(8x)/(2x)] = 4. Portanto, o limite é igual a 4.