Considere a função f(x,y) = {[(x^2 * y)/(x^2 + y^2)] se (x,y) ≠ (0,0); 0 se (x,y) = (0,0)}. a) Verifique se f é contínua na origem. b) Calcule as d...

a) Para verificar se a função é contínua na origem, é necessário verificar se o limite da função quando (x,y) se aproxima de (0,0) é igual ao valor da função na origem. Para isso, podemos utilizar coordenadas polares, substituindo x = r cos(θ) e y = r sen(θ). Então, temos: lim (x,y) → (0,0) [(x^2 * y)/(x^2 + y^2)] = lim r → 0 [(r^2 cos^2(θ) * r sen(θ))/(r^2 cos^2(θ) + r^2 sen^2(θ))] = lim r → 0 [(r^3 cos^2(θ) sen(θ))/(r^2)] = lim r → 0 [r cos^2(θ) sen(θ)] = 0 Já que o limite da função é igual a 0, que é o valor da função na origem, podemos concluir que a função é contínua na origem. b) Para calcular as derivadas parciais de f na origem, podemos utilizar as definições de derivadas parciais: fx(0,0) = lim h → 0 [(f(h,0) - f(0,0))/h] = lim h → 0 [(h^2 * 0)/(h^2 + 0^2)] = 0 fy(0,0) = lim k → 0 [(f(0,k) - f(0,0))/k] = lim k → 0 [(0 * k)/(0^2 + k^2)] = 0 c) Para verificar se a função é diferenciável na origem, é necessário verificar se existem as derivadas parciais e se elas são contínuas na origem. Como as derivadas parciais existem e são iguais a 0 na origem, podemos concluir que a função é diferenciável na origem e que seu diferencial é dado por df(0,0)(h,k) = 0.