A existência de derivadas parciais garante a diferenciabilidade da função? Se verdadeiro, prove. Se falso, dê um contra-exemplo. JUSTIFIQUE SUA RES...

A existência de derivadas parciais não garante a diferenciabilidade da função. Um contra-exemplo é a função de Weierstrass, que é contínua em todos os pontos, mas não é diferenciável em nenhum ponto. A função de Weierstrass é definida como uma série infinita de cossenos e senos, e é um exemplo de uma função contínua em todos os lugares, mas que não é suave o suficiente para ser diferenciável. Portanto, a existência de derivadas parciais não é suficiente para garantir a diferenciabilidade da função.