4) Seja z = f(x, y) uma função diferenciável em um ponto (x, y). Suponhamos que y = g(x), derivável em todo x do domínio da g. Se 0)y,x(...

Podemos começar usando a regra da cadeia para derivar a função composta z = f(x, g(x)) em relação a x: dz/dx = ∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx Como y = g(x), temos dy/dx = g'(x). Substituindo na equação acima, temos: dz/dx = ∂f/∂x + ∂f/∂y * g'(x) Sabemos que ∂f/∂y ≠ 0, então podemos dividir ambos os lados da equação por ∂f/∂y: dz/dx / ∂f/∂y = (∂f/∂x / ∂f/∂y) + g'(x) A expressão entre parênteses é igual a )y,x(f, então podemos reescrever a equação como: )y,x(f * (dz/dx / ∂f/∂y) = )y,x(f + g'(x) Finalmente, podemos isolar )y,x(f: )y,x(f = (dz/dx / ∂f/∂y) / (1 - g'(x) / ∂f/∂y) Portanto, temos: )y,x(f = (dz/dx / ∂f/∂y) / (1 - g'(x) * ∂y/∂f) E também: )x('g = -∂f/∂y / ∂f/∂x E: y/x- = g'(x) / (1 - g'(x) * ∂y/∂f) Essas são as expressões solicitadas.