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UFPB – CCEN – Departamento de Matemática 
Exercícios – Cálculo II – 00.1 
 
 
1) Suponha que, para todo x, xarctg)x,x3(f 3 = . 
a) Calcule )1,3(f x admitindo que 3)1,3(f y = . 
b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (3, 1, f(3, 1)). 
 
 
2) Admita que, para todo x, 0)y,x(fx)y,x(fy4 yx =− . Prove que f é constante sobre 
elipse 1y 24
x2 =+ . 
 
 
3) Considere a função )
x
y
,
y
x
(f)y,x(F = . Mostre que 0F.yF.x yx =+ . 
 
4) Seja z = f(x, y) uma função diferenciável em um ponto (x, y). Suponhamos que 
y = g(x), derivável em todo x do domínio da g. Se 0)y,x(f y ≠ , mostre que 
)y,x(f
)y,x(f
)x('g
y
x−= 
 
5) Considere as funções w = F(x, y, u, v) e w = G(x, y, u, v). Chama-se de jacobiano 
entre F e G, em relação a u e v, ao determinante 
 
vu
vu
GG
FF
)v,u(
)G,F(
=
∂
∂
 
 
Dadas as funções F(x, y, u, v) = x + y + sen uv e G(x, y, u, v) = 3x + 2y + u2 + v2 , calcule 
o jacobiano entre F e G em relação a x e v. 
 
 
6) Seja w = f(x, y) uma função diferenciável. Suponhamos que θ= cosrx e θ= senry . 
Mostre que 
2
2
222
w
r
1
r
w
y
w
x
w





θ∂
∂+




∂
∂=



∂
∂+




∂
∂
 
 
7) Se )yx(fw 22 += , mostre que 0
y
w
x
x
w
y =





∂
∂
−





∂
∂
. 
 
8) Uma função f de duas variáveis é dita homogênea de grau n se )y,x(ft)ty,tx(f n= , 
para todo t tal que (tx, ty) esteja no domínio da f. Mostre que, para tais funções, 
 
)y,x(nf)y,x(yf)y,x(xf yx =+