4.1. Encontre e classifique os pontos críticos de cada função dada abaixo: ( )a z xy= ( )b z x y= − −1 22 2 ( )c z xy x y xy= + −2 2 ( )d z x xy y=...

Para encontrar os pontos críticos de cada função, precisamos calcular suas derivadas parciais em relação a x e y e igualá-las a zero. Os pontos críticos são aqueles em que ambas as derivadas parciais são iguais a zero. a) z = xy ∂z/∂x = y ∂z/∂y = x y = 0 e x = 0 O ponto crítico é (0,0) e é um ponto de sela. b) z = x^2 - y^2 ∂z/∂x = 2x ∂z/∂y = -2y 2x = 0 e -2y = 0 Os pontos críticos são (0,0) e (1,-1). O ponto (0,0) é um ponto de mínimo local e o ponto (1,-1) é um ponto de máximo local. c) z = x^2y - 2y^2 ∂z/∂x = 2xy ∂z/∂y = x^2 - 4y 2xy = 0 e x^2 - 4y = 0 Os pontos críticos são (0,0) e (2,1). O ponto (0,0) é um ponto de sela e o ponto (2,1) é um ponto de mínimo local. d) z = x - 2y^2 ∂z/∂x = 1 ∂z/∂y = -4y 1 = 0 e -4y = 0 O ponto crítico é (1,0) e é um ponto de mínimo local. e) z = x^2y^3 + 2x^2 + 3y^4 + 4xy ∂z/∂x = 2xy^3 + 4x + 4y ∂z/∂y = 3x^2y^2 + 12y^3 + 4x 2xy^3 + 4x + 4y = 0 e 3x^2y^2 + 12y^3 + 4x = 0 Os pontos críticos são (0,0), (-1/2,0), (0,-2) e (-1/2,-2). O ponto (0,0) é um ponto de mínimo local, o ponto (-1/2,0) é um ponto de máximo local, o ponto (0,-2) é um ponto de máximo local e o ponto (-1/2,-2) é um ponto de sela. f) z = log(x^2 + y^2) ∂z/∂x = 2x/(x^2 + y^2) ∂z/∂y = 2y/(x^2 + y^2) 2x/(x^2 + y^2) = 0 e 2y/(x^2 + y^2) = 0 O ponto crítico é (0,0) e é um ponto de mínimo local. g) z = x^3 - y^3 - x^2y + 3y^2 ∂z/∂x = 3x^2 - 2xy ∂z/∂y = -3y^2 - x^2 + 6y 3x^2 - 2xy = 0 e -3y^2 - x^2 + 6y = 0 Os pontos críticos são (0,0), (0,2) e (3,3). O ponto (0,0) é um ponto de sela, o ponto (0,2) é um ponto de máximo local e o ponto (3,3) é um ponto de mínimo local. h) z = x^3 + y^3 - 4x - 3y^2 ∂z/∂x = 3x^2 - 4 ∂z/∂y = 3y^2 - 6y 3x^2 - 4 = 0 e 3y^2 - 6y = 0 Os pontos críticos são (2,0) e (-2,2). O ponto (2,0) é um ponto de mínimo local e o ponto (-2,2) é um ponto de máximo local. i) z = x^2 - 2xy + 2y^2 + 4x - 6y ∂z/∂x = 2x - 2y + 4 ∂z/∂y = -2x + 4y - 6 2x - 2y + 4 = 0 e -2x + 4y - 6 = 0 O ponto crítico é (1,2) e é um ponto de mínimo local.