4.21. De todos os paralelepípedos retângulos com mesmo volume, mostre que o de menor área é o cubo.

Para resolver essa questão, podemos utilizar a fórmula do volume de um paralelepípedo retângulo, que é dada por V = abc, onde a, b e c são as medidas dos lados do paralelepípedo. Suponha que temos dois paralelepípedos retângulos com o mesmo volume, mas com dimensões diferentes. Sejam a1, b1 e c1 as medidas do primeiro paralelepípedo e a2, b2 e c2 as medidas do segundo paralelepípedo. Como os dois paralelepípedos têm o mesmo volume, temos que: a1 * b1 * c1 = a2 * b2 * c2 Podemos reescrever essa equação como: a1 * b1 = (a2 * b2 * c2) / c1 Note que a área da base do primeiro paralelepípedo é a1 * b1 e a área da base do segundo paralelepípedo é a2 * b2. Como c1 é maior do que c2 (pois o primeiro paralelepípedo é mais "achatado" do que o segundo), temos que: a1 * b1 = (a2 * b2 * c2) / c1 < a2 * b2 Portanto, a área da base do primeiro paralelepípedo é menor do que a área da base do segundo paralelepípedo. Como essa relação vale para qualquer par de paralelepípedos com o mesmo volume, concluímos que o paralelepípedo com menor área é o que tem a forma de um cubo, ou seja, aquele em que a = b = c.