4.24. Uma indústria planeja fabricar caixas retangulares de 8 m3 de volume. Determine as dimensões que minimizem o custo, se o material para a base...

Para resolver esse problema, precisamos encontrar as dimensões da caixa retangular que minimizam o custo de fabricação. Sejam x, y e z as dimensões da caixa retangular. Temos que o volume da caixa é dado por: V = xyz = 8 Queremos minimizar o custo de fabricação, que é dado por: C = 2xy + 4xz + 4yz Note que a área da base da caixa é xy e a área total das laterais é 2xz + 2yz. Como a caixa é retangular, temos que a área da base é máxima quando x = y e a área total das laterais é máxima quando x = z = y/2. Substituindo x = y e z = y/2 na equação do volume, obtemos: V = xy(y/2) = 8 y³ = 16 y = 2∛2 Substituindo x = y e z = y/2 na equação do custo, obtemos: C = 2y² + 4y² + 4(y/2)² = 10y² C = 10(2∛2)² C = 40√2 Portanto, as dimensões que minimizam o custo são x = y = 2∛2 e z = y/2 = ∛2. O custo mínimo é de R$ 40√2.