5a QUESTÃO: (2,0 pontos) Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem um volume 32 m3. Encontre as dimensões da caixa que minimizem o material usado...

Para encontrar as dimensões da caixa que minimizam o material usado, precisamos minimizar a área total da caixa. Sabemos que o volume da caixa é 32 m³, então podemos escrever: V = l²h = 32 onde l é a medida do lado da base quadrada e h é a altura da caixa. Podemos isolar h em função de l: h = 32/l² A área total da caixa é dada por: A = 2l² + 4lh Substituindo h em função de l, temos: A = 2l² + 4l(32/l²) Simplificando, temos: A = 2l² + 128/l Para encontrar o valor mínimo de A, podemos derivá-la em relação a l e igualar a zero: dA/dl = 4l - 128/l² = 0 Multiplicando ambos os lados por l², temos: 4l³ - 128 = 0 l³ = 32 l = 3,174 m (aproximadamente) Substituindo esse valor de l na equação para h, temos: h = 32/3,174² ≈ 3,174 m Portanto, as dimensões da caixa que minimizam o material usado são aproximadamente 3,174 m x 3,174 m x 3,174 m.