4.18. Uma caixa retangular sem tampa deve ter 32 m3 de volume. Determine suas dimensões de modo que sua área total seja mínima.

Para determinar as dimensões da caixa retangular de volume 32 m³ com área total mínima, podemos utilizar o método do cálculo diferencial. Sejam x, y e z as dimensões da caixa retangular. Temos que o volume é dado por: V = xyz = 32 A área total é dada por: A = 2xy + 2xz + 2yz Podemos isolar uma das variáveis das equações acima e substituir na equação da área total, obtendo: A = 64/x + 64/y + xy Para encontrar o mínimo da área total, devemos derivar a equação em relação a x e igualar a zero: dA/dx = -64/x² + y = 0 Isolando y, temos: y = 64/x² Substituindo y na equação do volume, temos: xyz = 32 x²z = 32 z = 32/x² Substituindo z e y na equação da área total, temos: A = 64/x + 64/(32/x²) + x(64/x²) Simplificando, temos: A = 64/x + 2x²/1 Para encontrar o mínimo da área total, devemos derivar a equação em relação a x e igualar a zero: dA/dx = -64/x² + 4x = 0 Resolvendo para x, temos: x = 4 m Substituindo x na equação do volume, temos: xyz = 32 y = 2 m z = 4 m Portanto, as dimensões da caixa retangular de volume 32 m³ com área total mínima são 4 m x 2 m x 4 m.