Determine os autovalores da transformação linear T:R3→R3 dada por T(x,y,z)=(6x+z,−6y+z,−6z)

Para determinar os autovalores da transformação linear T, precisamos encontrar os valores de λ que satisfazem a equação T(v) = λv, onde v é um vetor não nulo e λ é um escalar. Substituindo T(x,y,z) na equação, temos: T(x,y,z) = λ(x,y,z) (6x+z, -6y+z, -6z) = λ(x,y,z) Agora, podemos escrever um sistema de equações lineares: 6x + z = λx -6y + z = λy -6z = λz Podemos simplificar a terceira equação para obter: λ = -6 Substituindo λ = -6 nas duas primeiras equações, temos: 6x + z = -6x -6y + z = -6y Simplificando, obtemos: 12x + z = 0 12y - z = 0 Podemos escrever isso na forma matricial: |12 0 1| |0 12 -1| * |x| |0 0 0| |y| |z| Para encontrar os autovalores, precisamos encontrar os valores de λ que tornam a matriz singular, ou seja, seu determinante é igual a zero. Assim, temos: det(A - λI) = 0 Onde A é a matriz acima e I é a matriz identidade 3x3. Resolvendo a equação, obtemos: (12 - λ) * (12 - λ) * (-λ) = 0 As soluções são λ1 = 12 e λ2 = -6 (com multiplicidade 2). Portanto, os autovalores da transformação linear T são λ1 = 12 e λ2 = -6.