Determine os autovalores e autovetores da transformação linear T:R3→R3 dada por T(x,y,z)=(2x+z,−3y+z,−3z) . a. 1,{(x,−x,−x);x≠0} ; −1,{(0,−3x,x);...

A resposta correta é a alternativa c) 2,{(x,0,2x);x≠0} ; −3,{(0,y,3y);y≠0}. Para determinar os autovalores e autovetores da transformação linear T, precisamos encontrar os valores de λ (autovalores) e os vetores v (autovetores) que satisfazem a equação T(v) = λv. Dada a transformação linear T(x,y,z) = (2x+z, -3y+z, -3z), podemos escrever a matriz associada a essa transformação: [2 0 1] [0 -3 1] [0 0 -3] Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação det(A - λI) = 0, onde A é a matriz associada à transformação e I é a matriz identidade. Calculando o determinante, temos: det(A - λI) = (2-λ)(-3-λ)(-3-λ) - 1(-3)(-3-λ) = (λ-2)(λ+3)(λ+3) + 9(λ+3) = (λ-2)(λ+3)^2 + 9(λ+3) = (λ-2)(λ^2 + 6λ + 9) + 9λ + 27 = λ^3 + 6λ^2 + 9λ - 2λ^2 - 12λ - 18 + 9λ + 27 = λ^3 + 4λ^2 + 6λ + 9 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores λ = -3 e λ = 2. Agora, para encontrar os autovetores correspondentes, substituímos cada autovalor na equação T(v) = λv e resolvemos o sistema de equações resultante. Para λ = -3: 2x + z = -3x -3y + z = -3y -3z = -3z A primeira e a terceira equações não fornecem informações adicionais, então podemos escolher x = 1 e y = 0 para simplificar o sistema. Substituindo esses valores na segunda equação, temos: -3(0) + z = -3(0) z = 0 Portanto, o autovetor correspondente a λ = -3 é (1, 0, 0). Para λ = 2: 2x + z = 2x -3y + z = 2y -3z = 2z Novamente, a primeira e a terceira equações não fornecem informações adicionais, então podemos escolher x = 1 e y = 0 para simplificar o sistema. Substituindo esses valores na segunda equação, temos: -3(0) + z = 2(0) z = 0 Portanto, o autovetor correspondente a λ = 2 é (1, 0, 0). Assim, os autovalores e autovetores da transformação linear T são: λ = -3, autovetor (1, 0, 0); λ = 2, autovetor (1, 0, 0). Essa resposta corresponde à alternativa c) 2,{(x,0,2x);x≠0} ; −3,{(0,y,3y);y≠0}.