Em matemática, o teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada...

Para calcular a integral de linha ∮(3y-e^sen(x))dx+(7x+√(y^4)+1)dy ao longo do círculo x²+y²=9, podemos aplicar o Teorema de Green. Primeiro, precisamos encontrar a região limitada pelo círculo. Podemos observar que essa região é um disco de raio 3 centrado na origem. Em seguida, precisamos encontrar o campo vetorial F(x,y) = (3y-e^sen(x), 7x+√(y^4)+1). Calculando as derivadas parciais de F em relação a x e y, temos: ∂F/∂x = -e^sen(x), 7 ∂F/∂y = 3, 2y^3/2 Agora, podemos calcular a integral dupla de div(F) sobre a região limitada pelo círculo: ∬div(F) dA = ∬(2y^3/2 - (-e^sen(x))) dA = ∫[0,2π] ∫[0,3] (2r^3 sin^3(θ) + e^sin(θ)) r dr dθ = 0 Como a integral dupla de div(F) é zero, podemos aplicar o Teorema de Green: ∮F.dr = ∬div(F) dA = 0 Portanto, a integral de linha ao longo do círculo x²+y²=9 é zero: ∮(3y-e^sen(x))dx+(7x+√(y^4)+1)dy = 0