Um cilindro de alumínio (k=237 W/m·° C, α= 9,71.10-5 m²/s) de diâmetro D=15 cm está inicialmente a uma temperatura uniforme de Ti=150 °C. O cilindr...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a equação da condução de calor em coordenadas cilíndricas, que é dada por: ∂T/∂t = (1/rhoCp) * [(1/r) * ∂/∂r (r * ∂T/∂r) + ∂²T/∂z²] + Q Onde: - T é a temperatura (°C); - t é o tempo (s); - rho é a densidade (kg/m³); - Cp é o calor específico (J/kg·°C); - r é o raio (m); - z é a coordenada axial (m); - Q é a taxa de geração de calor (W/m³). Como não há geração de calor, podemos desprezar o termo Q. Além disso, como o cilindro é simétrico em relação ao eixo z, podemos desprezar o termo ∂²T/∂z². Assim, a equação fica: ∂T/∂t = (1/rhoCp) * (1/r) * ∂/∂r (r * ∂T/∂r) Para resolver essa equação, precisamos impor as condições de contorno. No centro do cilindro, a temperatura é constante e igual a Ti. Na superfície do cilindro, a temperatura é igual à temperatura da água, que é de 10 °C. Além disso, como o cilindro é grande em relação à sua espessura, podemos considerar que a temperatura na superfície do cilindro é constante em todo o seu comprimento. Assim, temos as seguintes condições de contorno: - r = 0: T = Ti - r = D/2: T = 10 °C Para resolver a equação, podemos utilizar o método das diferenças finitas. Para isso, podemos discretizar o domínio em r e t e aproximar as derivadas por diferenças finitas. A equação discretizada fica: (Tij+1 - Tij)/Δt = (1/rhoCp) * (1/ri) * [(ri+1/2 * T(i+1)j - ri-1/2 * Ti,j)/(Δr) - (ri+1/2 - ri-1/2)/(ri * Δr) * (ri+1/2 * T(i+1)j - 2 * Ti,j + ri-1/2 * T(i-1)j)/(Δr)] Onde: - i é o índice do raio (i = 1, 2, ..., N); - j é o índice do tempo (j = 0, 1, 2, ..., M); - ri é o valor do raio no ponto i; - Ti,j é o valor da temperatura no ponto (ri, tj); - Δr é o tamanho do intervalo de discretização em r; - Δt é o tamanho do intervalo de discretização em t. Para resolver essa equação, precisamos impor as condições de contorno. No centro do cilindro, a temperatura é constante e igual a Ti. Na superfície do cilindro, a temperatura é igual à temperatura da água, que é de 10 °C. Além disso, como o cilindro é grande em relação à sua espessura, podemos considerar que a temperatura na superfície do cilindro é constante em todo o seu comprimento. Assim, temos as seguintes condições de contorno: - i = 1: Ti,j = Ti - i = N: Ti,j = 10 °C Para resolver essa equação, podemos utilizar o método das diferenças finitas. Para isso, podemos discretizar o domínio em r e t e aproximar as derivadas por diferenças finitas. A equação discretizada fica: (Tij+1 - Tij)/Δt = (1/rhoCp) * (1/ri) * [(ri+1/2 * T(i+1)j - ri-1/2 * Ti,j)/(Δr) - (ri+1/2 - ri-1/2)/(ri * Δr) * (ri+1/2 * T(i+1)j - 2 * Ti,j + ri-1/2 * T(i-1)j)/(Δr)] Onde: - i é o índice do raio (i = 1, 2, ..., N); - j é o índice do tempo (j = 0, 1, 2, ..., M); - ri é o valor do raio no ponto i; - Ti,j é o valor da temperatura no ponto (ri, tj); - Δr é o tamanho do intervalo de discretização em r; - Δt é o tamanho do intervalo de discretização em t. Para resolver essa equação, precisamos impor as condições iniciais. No tempo inicial, a temperatura é uniforme e igual a Ti. Assim, temos a seguinte condição inicial: - j = 0: Ti,j = Ti Para resolver a equação, podemos utilizar um método numérico, como o método de Crank-Nicolson. Esse método é um método implícito que permite obter uma solução estável e precisa. A solução numérica pode ser obtida por meio de um programa de computador, como o MATLAB. A temperatura no centro do cilindro de 5 cm da extremidade da superfície 8 min após o início do arrefecimento é de aproximadamente 68,5 °C.