Considere um reservatório, na forma de um hemisfério de raio R = 10 m, com água até
uma altura h, conforme ilustra a figura abaixo. Nesse caso,...

Question

Considere um reservatório, na forma de um hemisfério de raio R = 10 m, com água até
uma altura h, conforme ilustra a figura abaixo. Nesse caso, o volume de água é dado por
V (h) = (π/3)(3Rh2

− h3). Suponha que o reservatório esteja sendo abastecido com uma
vazão de 16 π m3/min. Portanto a altura h e o raio r da superf́ıcie da água são funções
do tempo. Observe que a forma esférica do reservatório estabelece uma relação entre as
funções h = h(t) e r = r(t).

(a) Usando a regra da cadeia aplicada a V (h(t)), determine o
valor de h′(τ) no instante τ em que h(τ) = 4.

(b) Obtenha a relação entre as funções h(t) e r(t) menciona
acima.

(c) Usado os itens anteriores, determine o valor de r′(τ) no
instante τ em que h(τ) = 4.
(a) Usando a regra da cadeia aplicada a V (h(t)), determine o
valor de h′(τ) no instante τ em que h(τ) = 4.
(b) Obtenha a relação entre as funções h(t) e r(t) menciona
acima.
(c) Usado os itens anteriores, determine o valor de r′(τ) no
instante τ em que h(τ) = 4.

Ed · Answer

(a) Usando a regra da cadeia, temos:

V(h) = (π/3)(3Rh² - h³)

V'(h) = π(R² - h²)

h'(τ) = (d/dτ)h(τ)

V(h(t)) = V(h(τ)) + V'(h(τ))(h(t) - h(τ))

16π = V'(4)h'(τ)

Substituindo os valores, temos:

16π = π(10² - 4²)h'(τ)

h'(τ) = 4/3 m/min

(b) A relação entre as funções h(t) e r(t) é dada por:

h(t) = R - r(t)

(c) Usando a regra da cadeia novamente, temos:

V(h) = (π/3)(3Rh² - h³)

V'(h) = π(R² - h²)

r'(τ) = (d/dτ)r(τ)

V(h(t)) = V(h(τ)) + V'(h(τ))(h(t) - h(τ))

16π = V'(4)(-r'(τ))

Substituindo os valores, temos:

16π = π(10² - 4²)(-r'(τ))

r'(τ) = 16/9 m/min

Considere um reservatório, na forma de um hemisfério de raio R = 10 m, com água até uma altura h, conforme ilustra a figura abaixo. Nesse caso,...

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