Um reservatório de água tem o formato de um cilindro sem a tampa superior e tem uma superf́ıcie total de 36π m2. Encon- tre os valores da altura ...

Para encontrar os valores da altura (h) e do raio da base (r) que maximizam a capacidade do reservatório, podemos utilizar o conceito de otimização. A capacidade de um cilindro é dada pela fórmula V = πr²h, onde V é o volume, r é o raio da base e h é a altura. Dado que a superfície total do reservatório é 36π m², podemos escrever a equação da superfície como: 2πrh + πr² = 36π Simplificando a equação, temos: 2rh + r² = 36 Agora, podemos isolar uma das variáveis na equação da superfície e substituir na fórmula do volume para obter uma função que dependa apenas de uma variável. Isolando h na equação da superfície, temos: h = (36 - r²) / (2r) Substituindo esse valor de h na fórmula do volume, temos: V = πr²[(36 - r²) / (2r)] Simplificando a expressão, temos: V = (18πr - πr³) / 2 Agora, podemos derivar essa função em relação a r e igualar a zero para encontrar o valor de r que maximiza a capacidade do reservatório. dV/dr = 0 (18π - 3πr²) / 2 = 0 18π - 3πr² = 0 3πr² = 18π r² = 6 r = √6 Substituindo o valor de r na equação da superfície, podemos encontrar o valor de h: 2h√6 + 6 = 36 2h√6 = 30 h√6 = 15 h = 15 / √6 Portanto, os valores que maximizam a capacidade do reservatório são: Altura (h) ≈ 6,12 m Raio da base (r) ≈ 2,45 m