Calcule a área compreendida entre o eixo x e a curva f(x) = 1/8 (x² - 2x + 8), entre x = -2 e x = 4.

Para calcular a área compreendida entre o eixo x e a curva \( f(x) = \frac{1}{8}(x^2 - 2x + 8) \) entre \( x = -2 \) e \( x = 4 \), siga os passos abaixo: 1. Encontrar os pontos de interseção com o eixo x: Para isso, igualamos \( f(x) \) a zero: \[ \frac{1}{8}(x^2 - 2x + 8) = 0 \implies x^2 - 2x + 8 = 0 \] A equação não possui raízes reais, pois o discriminante \( (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28 \) é negativo. Portanto, a curva não cruza o eixo x. 2. Calcular a área: Como a função não cruza o eixo x, a área entre a curva e o eixo x será a integral da função de \( x = -2 \) a \( x = 4 \): \[ A = \int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \int_{-2}^{4} \frac{1}{8}(x^2 - 2x + 8) \, dx \] 3. Calcular a integral: \[ A = \frac{1}{8} \int_{-2}^{4} (x^2 - 2x + 8) \, dx \] Agora, calculamos a integral: \[ \int (x^2 - 2x + 8) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + 8x \] Avaliando de \( -2 \) a \( 4 \): \[ A = \frac{1}{8} \left[ \left( \frac{4^3}{3} - 4^2 + 8 \cdot 4 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 + 8 \cdot (-2) \right) \right] \] Calculando: - Para \( x = 4 \): \[ \frac{64}{3} - 16 + 32 = \frac{64}{3} + 16 = \frac{64 + 48}{3} = \frac{112}{3} \] - Para \( x = -2 \): \[ \frac{-8}{3} - 4 - 16 = \frac{-8}{3} - 20 = \frac{-8 - 60}{3} = \frac{-68}{3} \] Agora, substituindo na fórmula da área: \[ A = \frac{1}{8} \left( \frac{112}{3} - \frac{-68}{3} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{112 + 68}{3} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{180}{3} \right) = \frac{1}{8} \cdot 60 = 7,5 \] Portanto, a área compreendida entre o eixo x e a curva \( f(x) \) entre \( x = -2 \) e \( x = 4 \) é \( 7,5 \) unidades quadradas.