Para calcular a área compreendida entre o eixo x e a curva \( f(x) = \frac{1}{8}(x^2 - 2x + 8) \) entre \( x = -2 \) e \( x = 4 \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a integral da função: \[ f(x) = \frac{1}{8}(x^2 - 2x + 8) \] A integral de \( f(x) \) é: \[ \int f(x) \, dx = \frac{1}{8} \left( \frac{x^3}{3} - x^2 + 8x \right) + C \] 2. Calcular a integral definida de -2 a 4: \[ A = \int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \left[ \frac{1}{8} \left( \frac{x^3}{3} - x^2 + 8x \right) \right]_{-2}^{4} \] 3. Substituir os limites: - Para \( x = 4 \): \[ f(4) = \frac{1}{8} \left( \frac{4^3}{3} - 4^2 + 8 \cdot 4 \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{64}{3} - 16 + 32 \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{64}{3} + 16 \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{64 + 48}{3} \right) = \frac{112}{24} = \frac{14}{3} \] - Para \( x = -2 \): \[ f(-2) = \frac{1}{8} \left( \frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2 + 8 \cdot (-2) \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{-8}{3} - 4 - 16 \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{-8 - 12 - 48}{3} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{-68}{3} \right) = \frac{-68}{24} = \frac{-17}{6} \] 4. Calcular a área: \[ A = f(4) - f(-2) = \frac{14}{3} - \left( \frac{-17}{6} \right) = \frac{14}{3} + \frac{17}{6} \] Para somar, precisamos de um denominador comum: \[ \frac{14}{3} = \frac{28}{6} \quad \text{(multiplicando por 2)} \] Então: \[ A = \frac{28}{6} + \frac{17}{6} = \frac{45}{6} = \frac{15}{2} \] Portanto, a área compreendida entre o eixo x e a curva é \( \frac{15}{2} \). A alternativa correta é: c) \( \frac{15}{2} \).