Sejam X um conjunto e V um espaço vetorial sobre R. (a) Defina o conjunto F(X,V ) em analogia ao conjunto F(X,R) definido nas aulas. (b) Defina ...

(a) O conjunto F(X,V) é o conjunto de todas as funções de X em V. Ou seja, F(X,V) = {f:X→V | f é uma função}. (b) Dadas duas funções f,g ∈ F(X,V) e um escalar α ∈ R, as operações de soma e produto por escalar em F(X,V) são definidas como: - (f+g)(x) = f(x) + g(x), para todo x ∈ X. - (αf)(x) = α(f(x)), para todo x ∈ X. (c) Para verificar que F(X,V) é um espaço vetorial, precisamos verificar se as seguintes propriedades são satisfeitas: - (f+g) ∈ F(X,V) para todo f,g ∈ F(X,V) (fechamento da soma). - (αf) ∈ F(X,V) para todo f ∈ F(X,V) e todo α ∈ R (fechamento do produto por escalar). - f+g = g+f para todo f,g ∈ F(X,V) (comutatividade da soma). - (f+g)+h = f+(g+h) para todo f,g,h ∈ F(X,V) (associatividade da soma). - Existe um elemento 0 ∈ F(X,V) tal que f+0 = f para todo f ∈ F(X,V) (existência do elemento neutro da soma). - Para todo f ∈ F(X,V), existe um elemento -f ∈ F(X,V) tal que f+(-f) = 0 (existência do elemento oposto da soma). - α(f+g) = αf+αg para todo f,g ∈ F(X,V) e todo α ∈ R (distributividade do produto por escalar em relação à soma). - (α+β)f = αf+βf para todo f ∈ F(X,V) e todo α,β ∈ R (distributividade do produto por escalar em relação à soma). - (αβ)f = α(βf) para todo f ∈ F(X,V) e todo α,β ∈ R (associatividade do produto por escalar). Todas essas propriedades são satisfeitas, portanto F(X,V) é um espaço vetorial.