Se f(x) ∈ F[x] é um polinômio constante não-nulo mostre que mdc(f(x), g(x)) = 1, qualquer que seja g(x) ∈ F[x].

Para mostrar que o mdc(f(x), g(x)) = 1, precisamos mostrar que o único divisor comum de f(x) e g(x) é 1. Como f(x) é um polinômio constante não-nulo, podemos escrevê-lo como f(x) = a, onde a é um elemento não-nulo de F. Suponha que d(x) seja um divisor comum de f(x) e g(x). Então, d(x) divide a e d(x) divide g(x). Como a é um elemento não-nulo de F, então d(x) não pode ser um polinômio constante não-nulo. Portanto, d(x) deve ter pelo menos um fator irredutível em F[x]. No entanto, como g(x) pertence a F[x], então qualquer fator irredutível de d(x) também deve ser um fator irredutível de g(x). Isso implica que d(x) não pode ter nenhum fator irredutível em F[x], o que significa que d(x) deve ser uma constante. Portanto, o único divisor comum de f(x) e g(x) é uma constante, e essa constante deve ser um divisor comum de a e g(x). Como a é não-nulo, o único divisor comum de a e g(x) é 1. Portanto, o mdc(f(x), g(x)) = 1.