Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a lei dos senos e a lei do cosseno. Primeiro, vamos utilizar a lei dos senos para encontrar o valor do ângulo AÔP: sen(30°) / sen(180° - 2α) = AP / OP sen(30°) / sen(2α) = AP / OP AP = OP * sen(30°) / sen(2α) Agora, vamos utilizar a lei do cosseno para encontrar a distância PO: PO² = AP² + AO² - 2 * AP * AO * cos(AÔP) Sabemos que AO = AB = 2000 m e que AP = OP * sen(30°) / sen(2α), então: PO² = (OP * sen(30°) / sen(2α))² + 2000² - 2 * (OP * sen(30°) / sen(2α)) * 2000 * cos(AÔP) Substituindo o valor de sen(30°) e cos(AÔP) em função de sen(2α): PO² = (OP² * 1/4) / (1 - 1/4 * sen²(α)) + 4 * 10⁶ - 2 * OP * 10³ * √3 * √(1 - 1/4 * sen²(α)) Agora, vamos encontrar o valor de OP que minimiza a distância PO. Para isso, vamos derivar PO em relação a OP e igualar a zero: d(PO²)/d(OP) = 0 OP = 1000 * √3 / sen(α) Substituindo esse valor de OP na equação de PO², temos: PO² = 3 * 10⁶ / (1 - 1/4 * sen²(α)) Agora, podemos encontrar a menor distância PO: PO = √(3 * 10⁶ / (1 - 1/4 * sen²(α))) Substituindo o valor de sen(30°) e α = 15°, temos: PO = 1000 m Portanto, a alternativa correta é a letra A) 1000 m.